Les 11: Een exponentieel verband opstellen - Eindexamenuitleg.nl

Les 11: Een exponentieel verband opstellen

Je leert hoe we aan de hand van een verhaaltje of tabel een exponentieel verband op kunnen stellen en hoe we verdubbelingstijd of halveringstijd uitrekenen. Moeilijkheidsgraad:★★★★☆

Opave 1

Flitsleningen (2015-II)

(Dit is een vervolg op Opgave 1 van les 10)

Geld lenen kost geld. Soms kost het heel veel geld. Vooral als je direct een paar honderd euro nodig hebt. In dit soort situaties kun je een flitslening nemen. Je leent een niet al te groot geldbedrag en betaalt dit na een korte periode terug.

Er bestaan verschillende websites waar je geld kunt lenen. Op de website flitsmoney.nl staat dat er geen rente wordt berekend.

Vraag A

Iemand leent bij Flitsmoney een bedrag van € 250,00. Hij heeft dus een schuld van € 250,00. Na 30 dagen is die schuld opgelopen tot € 312,50. Als je uitgaat van exponentiële groei, kun je berekenen dat de schuld dagelijks met ongeveer 0,75% groeit.

Bereken dit percentage in drie decimalen nauwkeurig.

We willen de groeifactor per dag berekenen. Voor een exponentieel verband over 30 dagen met beginwaarde 250 geldt dan:

Schuld=312,50=250\cdot groeifactor^{30}

Zo komen we uit op \frac{312,50}{250}=groeifactor^{30}, en dus

groeifactor=(\frac{312,50}{250})^{1/30}\approx 1,00747= 0,747\%

Vraag B

Zo’n flitslening is duur. Een schuld die dagelijks 0,75% groter wordt, zou na een jaar fors gegroeid zijn.

Bereken het groeipercentage per jaar.

We willen de groeifactor per jaar berekenen. In vraag A hebben we berekent dat de groeifactor per dag gelijk is aan 1,00747 (of 1,0075 uit de tekst). Er zitten 365 dagen in een jaar, dus

groeifactor\,\,per\,\,jaar=1,00747^{365}\approx 1400\%

Opave 2

Opslag van radioactief afval (2016-I)

Vraag A


Een Gammacell is een apparaat dat onder andere gebruikt wordt bij onderzoek naar de bederfelijkheid van voedsel. De Gammacell is een stalen kast waarin zich de radioactieve stof cesium bevindt. Zie de foto. De hoeveelheid radioactieve straling van cesium neemt jaarlijks met een vast percentage af en is na ongeveer 30 jaar gehalveerd.

Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid radioactieve straling per jaar afneemt.

De groeifactor per 30 jaar is 0,5.

Voor de groeifactor g per jaar geldt: 100 ⋅ 50 g30 = 50.

Dit kunnen met de GR oplossen voor g met de solver of omschrijven:

Beide kanten delen door 100 geeft: g30 = 0,5

Vervolgens beide kanten tot de macht 1/30 verheffen geeft:

g=0,5^{\frac{1}{30}}

Dit geeft dat groeifactor per jaar ongeveer 0,98 is.

Het antwoord moet een percentage zijn (afname). Dus ons antwoord is:

De straling neem per jaar af met 2%.

Vraag B

De tijd waarin de hoeveelheid straling tot de helft is afgenomen, wordt de halveringstijd genoemd. Soms wordt de volgende vuistregel gebruikt: ‘Na tien keer de halveringstijd is het radioactieve materiaal zijn straling kwijt.’

Volgens deze vuistregel zou cesium dus na 300 jaar zijn straling kwijt zijn. Dat is niet helemaal juist. Er is nog een klein beetje van de beginstraling over. Bereken hoeveel procent van de beginstraling er na 300 jaar nog over is.

De beginstraling die 100% is, moet tienmaal gehalveerd worden.

Tienmaal halveren geeft als groeifactor  0,510 ≈ 9,8 ⋅ 10-4

De groeifactor per 300 jaar is dus ongeveer 9,8 ⋅ 10-4  (ongeveer 0,001).

Het antwoord: 0,1(%) (of nauwkeuriger)

Vraag C

Bij het bedrijf Covra in Borssele wordt radioactief afval verwerkt en opgeslagen. Bij dit bedrijf is een afgedankte Gammacell binnengekomen. Het bedrijf moet ervoor zorgen dat er heel weinig straling vrijkomt wanneer de Gammacell wordt opgeslagen. De stalen wand van de Gammacell laat 8% van de straling door die het cesium op het moment van binnenkomst heeft. Omdat dat te veel is, wordt de hele Gammacell ingepakt in beton. Van de straling die door het staal heen komt, wordt een percentage P door het beton doorgelaten. Dit percentage hangt af van de dikte van het beton. Er geldt de formule:

P=\frac{100}{1,021^d}

Hierin is d de dikte van het beton in cm.

Het bedrijf moet de dikte van het beton zo kiezen, dat het staal en het beton samen 5% van de straling doorlaten die het cesium op het moment van binnenkomst heeft.

Bereken hoeveel cm de dikte van het beton moet zijn. Rond je antwoord af op een geheel getal.

8% van de totale straling wordt doorgelaten. Het beton laat daarvan vervolgens nog het percentage P door. Het uiteindelijke percentage moet 5% zijn. Dit geeft de vergelijking:

5\%=8\% \cdot P

\frac{5}{8}=P=0,625

62,5% van de straling wordt door het beton worden doorgelaten, dus als P invullen in de formule, krijgen we

 \frac{100}{1,021^{d}}=62,5

Deze vergelijking kan met de GR kan worden opgelost (zie les 8).

Het antwoord: d=23 (cm)

OF

0,08 \cdot \frac{100}{1,021^{d}} is het percentage van de straling dat door het staal en het beton samen wordt doorgelaten.

De vergelijking volgende vergelijking moet worden opgelost:

0,08 \cdot \frac{100}{1,021^{d}}=5

Deze vergelijking kan met de GR kan worden opgelost (zie les 8).

Het antwoord: d=23 (cm)

 
Tips
Uitwerkingen
Samenvattingen
Video's
Oefenen

Jouw gratis training
wacht op je

X